Забавное бытие

То, что забава и быть - однокоренные слова, бросается в глаза далеко не сразу. А между тем, это так.

Вполне очевидно, что в словах забавить, прибавить, добавить, убавить, разбавить легко отделяется приставка, оставляя несохранившийся глагол *бавить. Впрочем, не сохранился он в русском, но в других славянских представлен вполне достойно:

Укр. ба́вити "развлекать, забавлять", -ся, "задерживаться", блр. ба́вiць - -- то же, болг. ба́вя "развлекаю", сербохорв. ба̏вити се "задерживаться", словен. báviti se "заниматься", польск. bawić "пребывать, оставаться" и т. д. Старый кауз. от быть.
(Этимологический словарь русского языка В. Фасмера)

Что такое каузатив?
По другому он еще называется "побудительная форма" или даже "побудительное наклонение". Его значение "сделать так, чтобы кто-то произвел какое-то действие". туманно? Проще показать на примерах:

пить - каузатив поить
есть - каузатив кормить
идти - каузатив вести
гореть - жечь
(у)мереть - (у)морить
стоять (лучше стать, но в русском у него появилось другое значение) - ставить
лежать, лечь - класть, (по)ложить
сидеть, сесть - садить

Как видите, во многих случаях понудительные формы в русском образуются не от тех корней, что простые "непобудительные" глаголы. Но нередко корень тот же, в нем лишь меняются гласные, причем в каузативах явно преобладает о, а, по сравнению с "обычным" глаголом. Это - следы старой индоевропейской системы, в которой понудительные формы образовывались заменой нормального гласного е в корне глагола на о. В тех случаях, когда в исходном корне был не е, а о или а, он становился долгим. В славянских языках долгие ā и ō превратились в а. Для нашего списка глаголов те случаи, в которых каузатив образуется от того же корня, что и основной глагол, на поздне-индоевропейском (или, если хотите, дославянском) уровне выглядят следующим образом:
*pei-tei пить - *poi-ei-tei поить
*merti мереть - *mor-ei-tei морить
*stā-tei стать - *stā-v-ei-tei ставить
*leg-tei лечь - *log-ei-tei ложить
*sēd-tei сесть - *sād-ei-tei садить

Между прочим, очень похоже выглядит образование каузатива в санскрите:

vah-á-mi везу vāh-áyā-mi заставляю везти
budh- бодрствовать - bodhayati он будит
darsh- видеть - darshayati он показывает
jiv- живой - jivayati он оживляет
(в трех последних примерах при спряжении происходят некоторые изменения, поэтому я даю корень, а не соответствующую глагольную форму)

Корень быть на дославянском уровне имеет вид *bhū-. В славянском долгое ū перешло в ы, но в некоторых производных формах и сегодня остался след старого ū, который мог, на стыке с другим гласным порождать призвук w: бывать.

Каузатив от такого корня образовывался при помощи аналогично ставить от стать: бавить. Значение получалось "сделать", "установить". А уже отсюда развивается значение "задержать" (от "установить").
Ну, а приставки в русском всегда сильно меняют значение:

при-быть (более древнее значение видно в выражении "нашего полку прибыло") - при-бавить
до-быть - до-бавить
у-быть (сравните убыль) - убавить

Вот только пара за-быть - за-бавить разошлась довольно далеко. Хотя, забавляясь, мы забываемся, не так ли?